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> Le signe mystérieux, Enigmes mathématiques
Niggle
* 16/10/09 à 11:59
Message #1


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Voici un petit jeu que je propose à mes élèves de CM1. Le problème est que je n'ai pas les solutions et que j'ai du mal à résoudre certaines de ces énigmes !!! blush.gif

On a 4 égalités avec un signe mystérieux.

Dans les 4 égalités, le signe mystérieux fonctionne de la même façon. Ce signe permet de faire plusieurs opérations mathématiques sur les 2 nombres a et b de l'égalité. Il faut également trouver le résultat de la 4e opération.

Je vous propose pour commencer :

5 £ 2 = 17
2 £ 4 = 5
7 £ 1 = 25
6 £ 6 = ?


Comment fonctionne le signe £ ?
Quel est le résultat de la 4e opération ?


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Ollivier
* 16/10/09 à 16:49
Message #2


Sexagésimélodieux
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Je pense que l'on a :

6 £ 6 = 21
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Niggle
* 16/10/09 à 18:00
Message #3


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Donne-moi ton explication... Je n'ai pas la solution ! tongue.gif


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Ollivier
* 16/10/09 à 18:11
Message #4


Sexagésimélodieux
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La difficulté, car je ne pense pas qu'il y ait une autre solution, c'est que le deuxième nombre est transparent pour l'opération. ça devrait déboussoler des cm1... tongue.gif

a £ b = 4xa + 0xb - 3 donc 4xa - 3

5 £ 2 = 4x5 - 3 = 20 - 3 = 17

2 £ 4 = 4x2 - 3 = 8 - 3 = 5

7 £ 1 = 4x7 - 3 = 28 - 3 = 25

et donc

6 £ 6 = 4x6 - 3 = 24 - 3 = 21


Une présentation plus élégante, car plus symétrique, donnerait en utilisant les puissances :

a £ b = 4xa^1 - 3xb^0
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Niggle
* 16/10/09 à 21:53
Message #5


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En effet... Si on n'utilise pas b, les élèves ne pouvaient pas trouver. Merci pour cette explication Ollivier !

Un autre :

3 § 3 = 11

2 § 3 = 9

1 § 5 = 11

4 § 2 = ?


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Ollivier
* 17/10/09 à 07:16
Message #6


Sexagésimélodieux
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a § b = axb - a + b + 2



3 § 3 = 3x3 - 3 + 3 + 2 = 11

2 § 3 = 2x3 - 2 + 3 + 2 = 9

1 § 5 = 1x5 - 1 + 5 + 2 = 11

et donc

4 § 2 = 4x2 - 4 + 2 + 2 = 8
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charlie koller
* 17/10/09 à 14:00
Message #7


In6dieux
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rhoo... comment tu fais ca??? wink.gif

comment tu t'y prend je serais curieux de savoir? Ca te saute aux yeux en 10 secondes? Ya une technique? Ou tu passes une plombe a tout essaye?


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Ollivier
* 17/10/09 à 14:19
Message #8


Sexagésimélodieux
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Déjà, ça fait une douzaine d'année que j'enseigne les maths, ça aide... tongue.gif

Autrement, j'aime les nombres, ici je n'ai pas de méthode précise, je sais à priori qu'il s'agit de calculs simples donc je vais essayer des opérations au feeling. Ce que j'aime bien dans ce genre de recherche c'est que la cristallisation est largement inconsciente. La solution s'impose d'un coup.

Donc tout vient de mon habitude quotidienne de manipuler des nombres... Rien de bien mystérieux... wink.gif
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charlie koller
* 17/10/09 à 20:32
Message #9


In6dieux
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moi aussi j'aime les nombres ... mais dans mon cas c'est pas réciproque wink.gif


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Arwen
* 18/10/09 à 14:59
Message #10


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Pour le premier, il y a une autre solution qui fonctionne :

a £ b = axb + 12xa + 13xb -79

En fait, pour avoir les solutions sans déductions, il faut résoudre un système de 4 équations à 5 inconnues, la 5ème inconnue étant le résultat cherché de la dernière équation.

On part du principe que la forme de la solution est
a £ b = x*a*b + y*a + z*b + t
J'appelle alpha le résultat de la dernière égalité.
Je résoud le système en fonction de alpha
Puis par exemple on regarde pour quelle valeur de alpha on tombe sur des solutions entières.

Par contre, pour un niveau CM1, ça devient un peu compliqué xD


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Ollivier
* 18/10/09 à 16:31
Message #11


Sexagésimélodieux
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Intuitivement, je ne pensais pas qu'il pouvait y avoir une solution faisant intervenir b, comme quoi les nombres ne me disent pas tout Charlie tongue.gif .

Pour ta solution Arwen on a alors

6 £ 6 = 6x6 + 12x6 + 13x6 - 79 = 107
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Roupoil
* 18/10/09 à 19:21
Message #12


EEEEEEEEEE (dix E)
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J'avoue trouver ce genre de problème essentiellement sans intérêt. Il y a une trifouillée de solutions selon les formes que tu autorises pour l'opération mystère, et le fait qu'une d'entre elles soit plus ou moins évidente que les autres n'est pas toujours clair. Dans les exemples cités ici, on ne peut pas dire que l'opération soit simple ou naturelle, ce qui à mon sens rend la recherche essentiellement aléatoire. Et pourtant j'aime bien les nombres aussi tongue.gif .


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De toute façon, j'ai très mauvais goût : je préfère le chocolat au lait, la musique romantique et les blondes.

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Niggle
* 27/10/09 à 22:38
Message #13


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Bon, après toutes ces considérations nombresques, je vous en propose une 3e !

2 $ 2 = 2

3 $ 4 = 5

6 $ 5 = 4

8 $ 7 = ?


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Arwen
* 27/10/09 à 23:06
Message #14


Nanorwen
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Alors :

a $ b = -a + 2xb

Soit :

2 $ 2 = -2 + 2x2 = 2

3 $ 4 = -3 + 2x4 = 5

6 $ 5 = -6 + 2x5 = 4


Et par conséquent :

8 $ 7 = -8 + 2x7 = 6


Evidemment, il y en a des plus compliquées, genre qui marche aussi : a $ b = 5xaxb - 29xa - 4xb + 48, avec le nombre cherché qui vaut 68


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deume
* 27/10/09 à 23:18
Message #15


Divine Espionne
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C'est marrant je suis arrivée au même résultat qu'Arwen, mais beaucoup plus facilement je pense tongue.gif
2 $ 2 = 2 ==> on a 2 fois le même chiffre, donc ça donne ce même chiffre.

3 $ 4 = 5 ==> c'est une suite croissante, donc c'est forcément 5 vu qu'il suit le 4.

6 $ 5 = 4 ==> la même chose mais décroissante.

8 $ 7 = ? ==> une suite décroissante comme dans l'exemple du dessus, ce qui fait qu'on obtient bien un 6 !

Oui je sais c'est très mal expliqué, mais c'est pas grave tongue.gif


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